第一百零八章世界的大门

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    第108章世界的大门
    这一次的题目是彭老师出的。
    他在考试开始前说了一段话：「这次测评的三道题，没有一道是IMO题库里的。每一道都是我根据你们这几个月在集训队里讨论过丶碰撞过丶卡住过的问题，重新设计的。你们不是在答标准答案，你们是在和我对话。」
    试卷发下来。
    第一道是代数，关于群作用下的不变量的一个不等式，条件给得很开放，留了好几条可能的证明路径。
    第二道是组合几何，涉及一个动态点集的划分问题，题乾的最后有一行括号里的字：「（提示：可以考虑提升维度。）」
    陆沉看到那行字的时候，手指在桌上轻轻叩了一下。
    彭老师把他三维凸包构造的思想，变成了一道竞赛题。
    第三道是数论，关于二次域中一个特殊序列的分布问题，题干末尾标注了「本题受周尧同学数论笔记启发」。
    陆沉看到周尧那两个字的时候，手里的笔停了一瞬。
    然后他低下头，开始写。
    四个小时后交卷。
    陆沉三道题全写完了，第二题他用了三维提升的方法，步骤比标准解法缩短了将近一半。
    写完之后他在证明末尾加了一行附注：「此方法可推广至任意有限点集的k维剖分问题。」
    这是他留给彭老师的对话。
    交卷的时候，他看到陈志远的试卷上第二题也用了三维提升。
    陈志远的字还是那么用力，三维凸包的示意图画得方方正正，像一个微缩的建筑模型。
    走出活动室的时候，四月的阳光从走廊的窗户照进来，暖洋洋地铺在地面上。
    窗外的槐树已经长出了满树的新叶，嫩绿色的，在风里轻轻摇晃。
    操场上有人在踢球，喊叫声和足球砸在泥地上的闷响交替传来。
    陆沉站在窗边，看见何巍正蹲在操场边的台阶上，手里拿着那叠草稿纸。
    他现在不是在想那个框架，是在把那个框架写成一篇完整的论文。
    测评一结束，他就蹲到操场边上继续写。
    王雪松从后面走过来，手里端着一个搪瓷缸子，缸子里泡着茶。
    他在陆沉旁边站定，也看着操场上何巍的背影。
    「他那个框架如果能发表，会是组合数学一个挺重要的进展。」王雪松说。
    「会的。」陆沉说。
    王雪松喝了一口茶。
    「你那个三维凸包构造，彭老师把它出成题了。」
    「看到了。」
    「被出成题，说明这个方法是可推广丶可教学的，它从一个陆沉想到的技巧，变成了一种可以被学会的方法。」王雪松把搪瓷缸子放在窗台上，「后者比前者重要得多，技巧只有一个人会，方法是所有人都会。」
    陆沉看着王雪松。
    这个上海少年说话的方式永远带着一种工程师式的精确。
    他把重要和更重要分得清清楚楚，把一个人和所有人的权重算得明明白白。
    但正是这种精确，让他的称赞有了重量。
    「你那道题做了多久？」王雪松问。
    「一小时多一点。」
    「我用了两个小时。三维提升那一步我想偏了，一开始往球面投影的方向走了，绕了一大圈才发现平面提升到柱面就够了。
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    王雪松摇了摇头，「不过绕的那一圈也不白绕，球面投影的思路在处理球面点集的时候应该能用上。」
    他端着搪瓷缸子往阅览室走去，走了几步又回头。
    「你那个方法推广到k维的附注我看到了，等我写完球面投影的笔记，跟你交换。」
    晚自习的时候，陆沉把第三次测评的三道题从头复盘了一遍。
    第二题的三维提升已经验证过了，他重点看了第一题和第三题。
    第一题的代数不等式，他用的是特徵标正交关系的路子，写完之后他忽然想到，何巍那个群表示论的框架里有一个引理，正好可以用来给这道题一个更简洁的证明。
    他把何巍框架中那个引理的核心结构画在便签本上，然后把它嫁接到的第一题上一推导步骤从原来的七步缩减到了四步。
    第三题，周尧的数论笔记。
    题干里那个二次域特殊序列的分布问题，本质上是对周尧那个图论方法的一个应用变体。
    彭老师把周尧的思路从二次剩余推广到了更一般的代数整数环里的素理想分解，然后用一个具体序列的分布问题来考察这种推广。
    陆沉在做这道题的时候，用到的核心构造正是周尧笔记本第一页那个把数论问题转化为图论问题的思想，只是图的结构从原来的奇偶圈变成了更复杂的有向多重图。
    他把这道题的证明重新整理了一遍，在证明开头加了一行字：「本题的核心构造源于周尧《数论杂记》第一

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